《民法典》第1138条规定：公证遗嘱由遗嘱人经公证机构办理。根据《遗嘱公证细则》规定，办理遗嘱公证步骤如下：

（1）申请：遗嘱人申请办遗嘱公证，应当亲自到遗嘱人住所地或遗嘱行为发生地公证机关提出申请；如果亲自到公证机关有困难的，遗嘱人可通过书面或口头请求有管辖权的公证处指派公证人员到其住处或临时处所办理。

（2）审查：公证处从以下几方面进行审查：
①遗嘱人是否具有完全民事行为能力，②意思表示是否真实，③其所处分的财产是否为其个人财产，④遗嘱人是否违反法律规定和社会公共利益，⑤内容是否完备，文字表述是否准确，⑥签名与制作日期是否齐全，办证程序是否符合规定。

（3）出具公证书：公证遗嘱采用打印形式，遗嘱人核对后，应当在公证遗嘱上签名。
民法典对遗嘱继承有明确的解释，公证遗嘱不再具有优先效力，以最新的遗嘱为准，废除了继承法中“公证遗嘱效力优先”的规定。本案中，张三在生病住院后因三儿子不对其进行照顾赡养，重新拟写遗嘱，根据民法典相关内容，继承以新遗嘱为准，遗产由大儿子和二儿子继承。

法律依据：《中华人民共和国民法典》第一千一百四十二条：【遗嘱的撤回、变更以及遗嘱效力顺位】遗嘱人可以撤回、变更自己所立的遗嘱。立遗嘱后，遗嘱人实施与遗嘱内容相反的民事法律行为的，视为对遗嘱相关内容的撤回。立有数份遗嘱，内容相抵触的，以最后的遗嘱为准。